\xiti

\begin{xiaotis}

\xiaoti{用杨辉三角展开 $(a + b)^5$。}

\xiaoti{用二项式定理展开：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(a + \sqrt[3]{b})^9$；}

    \xiaoxiaoti{$\left( \dfrac{\sqrt{x}}{2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)^7$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{化简：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(1 + \sqrt{x})^5 + (1 - \sqrt{x})^5$；}

    \xiaoxiaoti{$(2x^{\frac{1}{2}} + 3x^{-\frac{1}{2}})^4 - (2x^{\frac{1}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}})^4$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{求 $(1 - 2x)^{15}$ 的展开式中前四项；}

    \xiaoxiaoti{求 $(2a^3 - 3b^2)^{10}$ 的展开式中第八项；}

    \xiaoxiaoti{求 $\left( \dfrac{\sqrt{x}}{3} + \dfrac{3}{\sqrt{x}} \right)^{12}$ 的展开式中的中间一项；}

    \xiaoxiaoti{求 $(x\sqrt{y} - y\sqrt{x})^{15}$ 的展开式的中间两项。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列各式的二项展开式中指定各项的系数：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$\left( 1 - \dfrac{1}{2x} \right)^{10}$ 的含 $\dfrac{1}{x^5}$ 的项；}

    \xiaoxiaoti{$\left( 2x^3 - \dfrac{1}{2x^2} \right)^{10}$ 的常数项。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列各数的近似值（精确到 $0.001$）：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLineXxt[16em]{$(1.003)^5$；}{$(0.9998)^8$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{用二项式定理证明：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(n + 1)^n - 1$ 能被 $n^2$ 整除；}

    \xiaoxiaoti{$99^{10} - 1$ 能被 $1000$ 整除。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{证明：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$\left( x - \dfrac{1}{x} \right)^{2n}$ 的展开式中常数项是 $(-2)^n \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \, \cdots \, \cdot (2n-1)}{n!}$；}

    \xiaoxiaoti{$(1 + x)^{2n}$ 的展开式的中间一项是 $\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \, \cdots \, \cdot (2n - 1)}{n!} (2x)^n$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知 $(1 + x)^n$ 的展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，求这两项二项式系数。}


\xiaoti{求证：
    $$ 2^n - C_n^1 \cdot 2^{n-1} + C_n^2 \cdot 2^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1} C_n^{n-1} \cdot 2 + (-1)^n = 1 \text{。} $$
}

\end{xiaotis}

